旋转公式

对于一个点 $P_0(x_0,y_0)$ 来说 , $P_1(x_0\cos\theta-y_0\sin\theta,x_0\sin\theta+y_0\cos\theta)$ 是 $P_0$ 旋转 $\theta$ 角度 (顺时针) 后对应的点. 这个公式的推导是很简单的, 但是它这样的形式似乎并没有什么显而易见的规律. 但是, 复数乘法可以给我们一些启示.

复数乘法的几何意义

设 $z_1=a_1+b_1\mathrm{i}, z_2=a_2+b_2\mathrm{i}$ , 那么就有 $z_1z_2=a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\mathrm{i}$ . 如果还看不出什么, 就进行三角换元, 令 $a_1=k_1\cos\alpha, b_1=k_1\sin\alpha, a_2=k_2\cos\beta,b_2=k_2\sin\beta$ , 那么就有 $k_1=|z_1|, k_2=|z_2|$ , 于是
$$
\begin{aligned}
z_1z_2&=a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\mathrm{i}\
&=k_1k_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta)+k_1k_2(\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha)\mathrm{i}\
&=k_1k_2\cos(\alpha+\beta)+k_1k_2\sin(\alpha+\beta)\mathrm{i}
\end{aligned}
$$
现在就很显然了, 复数乘法的几何意义在于, 若复数 $z_1$ 的长度为 $k_1$ , 角度为 $\alpha$ , $z_2$ 的长度为 $k_2$ , 角度为 $\beta$ , 那么它们乘积的结果的复数的长度即为 $k_1k_2$ , 角度为 $\alpha+\beta$ .

旋转公式推导

这就启示我们使用一个特殊的复数即 $z’=\cos\theta+\sin\theta\mathrm{i}$ ,这个复数的特殊之处在于它的角度为 $\theta$ , 长度为 $1$ . 用这个复数去乘其他复数, 就可以起到旋转 $\theta$ 角的作用. 于是对于一个点 $P_0(x_0,y_0)$ , 我们将其表示在复平面即 $z_0=x_0+y_0\mathrm{i}$ , 然后就可以得到 $z_1=z_0z’=x_0\cos\theta-y_0\sin\theta+x_0\sin\theta+y_0\cos\theta\mathrm{i}$ , 再将 $z_1$ 重新用直角坐标系表达, 最终得到 $P_1(x_0\cos\theta-y_0\sin\theta,x_0\sin\theta+y_0\cos\theta)$ .