1

(1)

当 $n>10$ 时, 数列单调递减, 而 $x_n>0$ , 因此极限存在.

(2)

数列单调递减, $x_n>0$ , 极限存在.

2

显然该数列单调递增, 但有 $x_n<2$ (由数学归纳法得) , 因此极限存在.

3

设数列 ${a_n}$ 是单调递增的, 若子列 ${a_{k_n}}$ 收敛, 说明 $a_{k_n}<A$ 即有界, 那么任取 $1\leqslant t<k_n$ , 都有 $a_1\leqslant a_t<a_{k_n}<A$ , 由于 $k_n$ 可以任取, 也就是说对于任意的 $t\in\mathbb{Z}^*$ 都有该结论, 即数列收敛.

对递减数列同理.

4

已经有提示了.

易得 $a_{n+1}>a_n$ , 即 ${a_n}$ 是单调数列, 由题意知有界, 因此有
$$
(1-\lim_{n\to\infty}a_n)\lim_{n\to\infty}a_n\geqslant\frac{1}{4}, (1-\lim_{n\to\infty}a_n)\lim_{n\to\infty}a_n\leqslant\frac{1}{4}
$$
那么只有
$$
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}
$$

5

$$ \begin{aligned} n^{n-1}&>(n-1)!\\ (n!)^{n-1}&>(n-1)!^n\\ (n!)^{1/n}&>(n-1)!^{1/(n-1)} \end{aligned} $$

6

易得 $x_n-x_1< \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ , 而右边极限是存在的, 那么 ${x_n}$ 也就单调且有界, 即极限存在.