线性代数命题证明 (一)

一

问题

设 $M=\left[\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}\right]$ 为一个 $2n\times2n$ 矩阵, 其中每一块为一个 $n\times n$ 矩阵. 假设 $A$ 可逆且 $AC=CA$ . 那么有 $\det M=\det(AD-CB)$ .

证明

由于 $A$ 可逆且 $AC=CA$ , 所以两边左乘 $A^{-1}$ 有 $C=ACA^{-1}$ . 那么有
$$
\begin{aligned}
\det\left[\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}\right]&=\det\left[\begin{matrix}A&B\\C-A(CA^{-1})&D-B(CA^{-1})\end{matrix}\right]\\
&=\det\left[\begin{matrix}A&B\\0&D-B(CA^{-1})\end{matrix}\right]\\
&=\det(A)\det \Big(D-B(CA^{-1})\Big)\\
&=\det\Big(D-B(CA^{-1})\Big)\det(A)\\
&=\det\bigg(\Big(D-B(CA^{-1})\Big)A\bigg)\\
&=\det(DA-BC)
\end{aligned}
$$
这已经很接近我们的答案了.

将矩阵沿主对角线旋转 (即转置) 与沿副对角线旋转并不改变行列式的值, 即
$$
\det\left[\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}\right]=\det\left[\begin{matrix}D&C\\B&A\end{matrix}\right]
$$
而根据上面的推导, 有
$$
\det\left[\begin{matrix}D&C\\B&A\end{matrix}\right]=\det(AD-CB)
$$
那么也就是说
$$
\det\left[\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}\right]=\det\left[\begin{matrix}D&C\\B&A\end{matrix}\right]=\det(AD-CB)
$$
$\blacksquare$

二

问题

对于形如
$$
D_n=\left|\begin{matrix}
1&1&\cdots&1\\
x_1&x_2&\cdots&x_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
{x_1}^{n-1}&{x_2}^{n-1}&\cdots&{x_n}^{n-1}
\end{matrix}\right|
$$
的 $n$ 阶行列式称为范德蒙德行列式, 并且有
$$
D_n=\prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j)
$$

证明

我们用数学归纳法证明. 当 $n=2$ 时, 显然成立. 假设该结论对 $n-1$ 阶范德蒙德行列式成立, 那么对于 $n$ 阶范德蒙德行列式有
$$
\left|\begin{matrix}
1&1&\cdots&1\\
x_1&x_2&\cdots&x_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
{x_1}^{n-1}&{x_2}^{n-1}&\cdots&{x_n}{n-1}
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}
1&1&\cdots&1\\
0&x_2-x_1&\cdots&x_n-x_1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&{x_2}^{n-1}-{x_2}^{n-2}x_1&\cdots&{x_n}^{n-1}-{x_n}^{n-2}x_1
\end{matrix}\right|
$$
即从下到上每行减去上一行的 $x_1$ 倍. 从而我们有
$$
\begin{aligned}
\left|\begin{matrix}
1&1&\cdots&1\\
0&x_2-x_1&\cdots&x_n-x_1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&{x_2}^{n-1}-{x_2}^{n-2}x_1&\cdots&{x_n}^{n-1}-{x_n}^{n-2}x_1
\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}
x_2-x_1&\cdots&x_n-x_1\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
{x_2}^{n-1}-{x_2}^{n-2}x_1&\cdots&{x_n}^{n-1}-{x_n}^{n-2}x_1
\end{matrix}\right|\\
&=\left|\begin{matrix}
1(x_2-x_1)&\cdots&1(x_n-x_1)\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
{x_2}^{n-2}(x_2-x_1)&\cdots&{x_n}^{n-2}(x_n-x_1)
\end{matrix}\right|\\
&=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\left|\begin{matrix}
1&\cdots&1\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
{x_2}^{n-2}&\cdots&{x_n}^{n-2}
\end{matrix}\right|\\
&=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{2\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j)\\
&=\prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j)
\end{aligned}
$$
$\blacksquare$